今天我想談談π和數(shù)學意義上的的美。

要談論這個，還有比十八世紀著名的歐拉公式更好的例子嗎？

注意e指的是自然對數(shù)的底數(shù)。i是虛數(shù)單位，也就是-1的平方根。

這個公式經(jīng)常被叫做“最美數(shù)學公式”，不過其實歐拉并沒有真正的確切的把它寫出來過。一個容易誤解人的數(shù)學命名約定。相反，它是歐拉在證明指數(shù)增長和圓周運動的等價性時用到的公式的一種特殊情況。這個公式是這樣的

這個公式通常被稱為cis函數(shù)，結合了余弦(cos)和正弦(sin)。theta是希臘字母。

美國理論物理學家理查德·費曼稱其為“最引人注目的數(shù)學公式”。

歐拉社會的創(chuàng)始人——Ed Sandifer 曾在2007年的一篇好玩的文章中詳細討論了歐拉超過四十多年的方法，嘗試去說明這個公式到底在干什么。在這里我將盡量用最少的公式來講清楚這個故事。

這個公式干了什么？

歐拉公式包括了五個基本的數(shù)學常數(shù)0,1,i,e和π，以及它們之間的等號，加號和指數(shù)，以一種神秘而又有用的方式，組成了一個七字符的公式。它的等價形式也可以寫成：

重寫過的歐拉公式

這個形式甚至更加簡潔并且介紹了負數(shù)。

數(shù)學的一個共同特征是：發(fā)現(xiàn)總是首先被使用，然后才是被理解。18世紀法國數(shù)學家達朗貝爾寫過代數(shù)是慷慨的，她經(jīng)常給我們的答案超過了我們所問。

讓我介紹一下構造歐拉公式的這些磚塊的2000多年的歷史。你不必去理解確切的數(shù)學，只要了解一下這些不同元素的不同起源，以及它們是怎么如此緊密地結合起來的。

等于 （=）

"="符號歸因于1557年威爾士科學家羅伯特·雷科德。數(shù)學上關于相等的意思的討論反映了同時又推動了哲學上關于確切描述的概念的討論。

英國著名的邏輯學家伯特蘭·羅素的例子是金星,稱為晨星和昏星。一個反復提及的數(shù)學例子是0.99999999…和1是否相等。他們是，他們也不是。

零（0）

“0”的標記符號比 "= "更早。但是希臘人也好還是別的民族也好，都沒有發(fā)現(xiàn)怎么去演算 0 的法則。一個數(shù)學上成熟的“0”的概念歸功于大約公元650年的偉大的印度思想家Brahmagupta.

當“0”和另一個印度發(fā)明：進位計數(shù)法結合起來之后，計算數(shù)字便變得簡單多了。這種能力直到15世紀或者更晚才傳到歐洲。

1

沒有“1”就沒有先進的算法?！?”和“1”一起,我們有了二進制記數(shù)法和現(xiàn)代數(shù)字計算機。美國理論物理學家約翰·泰勒把這叫做“來自一點“（“來自比特“，英語雙關，it from bit——譯者）

這進一步導致了現(xiàn)代群論，代數(shù)，機密技術以及許多許多的其它知識。

i

虛數(shù)的使用大約開始于16到17世紀。法國哲學家和數(shù)學家笛卡爾就已經(jīng)早早使用過它了，不過是以輕視的態(tài)度。

我們現(xiàn)在認為理所當然的數(shù)學概念有時候要花費幾個世紀才能被接受和理解。難怪學生反抗虛數(shù)。這先是經(jīng)過歐拉后來又經(jīng)過德國數(shù)學家高斯的努力，虛數(shù)才真正的被開發(fā)起來了。“虛”這個詞終于有了一個積極的數(shù)學內(nèi)涵。

定義 i 作為-1 的平方根有一個非常美妙的結果。那就是一個n次多項式一定有n個（復）根了。比如說x^4=(x+1)(x-1)(x-i)(x+i), 它有四個根。這個導致了現(xiàn)在所謂復分析的發(fā)展。

如果沒有復數(shù)，大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學和數(shù)學物理（比如量子力學）都不能工作了。

Pi(π)

π是半徑為1的圓的面積和圓的周長。偉大的希臘數(shù)學家阿基米德(公元前287 - 前212)使用這個結論得到π近似值為22/7(3.141592…)。

歐拉提出了π的現(xiàn)代定義：即定義泰勒級數(shù)里面的余弦函數(shù)的最小的正系數(shù)為π/2.這有點復雜,但如果你只是想象這個級數(shù)是一個非常大的多項式，你會懂的。

cis函數(shù)是兩個泰勒級數(shù)

這里 n!= 1 x 2 x···x n 叫做n的階乘。這個十七世紀的另一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)。

e

常數(shù)“e”起源于十七世紀，它被定義為自然對數(shù)的底數(shù)。到小數(shù)點后三位是2.718...，有點像π，這是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

歐拉這位大師不光命名了“π”和“e”，他還意識到e^x也有一個花哨的泰勒級數(shù)。

展開的泰勒級數(shù)

然后令theta等于1，給出了一個關于e的有效公式。

現(xiàn)在我們知道了所有我們需要知道的磚塊。我們需要對第二個公式做的是令theta等于π，利用簡單的三角函數(shù)，我們知道sin(π)=0和cos(π)=-1，于是一步一步的約掉這個公式，我們便得到了美麗的第一個公式了。

什么是數(shù)學美？

正如你看到的，要看到這個公式的美我們必須理解這個公式的元素，至少是大概的理解。

羅素在他的《西方哲學史》上這樣說:

“恰當?shù)恼f，數(shù)學不僅涵括真理，亦表現(xiàn)最高等的美——這種美冷靜而簡樸，宛若雕塑，不訴諸我們?nèi)魏稳崛醯谋拘裕瑳]有繪畫中亦或音樂中的華麗絢爛，但是純粹得莊嚴，只有最偉大的藝術才能展示其嚴格的完美?！?/p>

大多數(shù)數(shù)學家都同意，一個美麗的公式一定是意料不到的，簡潔的和有用的，有一種專業(yè)數(shù)學家能夠感知到的高超的巧妙。

如果不得不列出來的話，大多數(shù)數(shù)學家會列出阿基米德，高斯，歐拉作為自古以來最杰出的五位數(shù)學思想家。另外兩個是艾薩克·牛頓(微積分和力學)和波恩哈德·黎曼(黎曼幾何和黎曼假設)。

同時擁有三位杰出的思想家和基本常數(shù)。難怪歐拉公式被人們崇拜地叫做最美麗的數(shù)學公式。